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Diffie-Hellman 密钥交换

在使用对称加密中,有一些无法避免的问题:

  • 密钥如何从加密方传递给解密方。窃听者如果可以劫获密文,那么也可能劫获密钥。
  • 如果窃听者破解了密钥,加密方如何将新的密钥安全地交给解密方

1. DH 密钥交换

解决上述问题的一种方法就是 DH 密钥交换 技术 。
DH 密钥交换全称为 Diffie-Hellman 密钥交换 ,是1976年由 Whitfiedl Diffle 和 Martin Hellman 共同发明的一种算法。使用这种方法,通信双方可以在窃听者眼皮子底下来安全地传输密码。
DH 交换的步骤如下:

  1. E 向 D 发送两个数 $G,P$   :$P$ 是一个非常大的质数,$G$ 是一个与 $P$ 相关的数,称为 生成元(generator) (这个概念在会后面讲到). $G$ 和 $P$ 不需要保密 。(其实这两个数也可以由 D 来生成)
  2. E 生成随机数 $A$ :$A$ 是一个介于 $1 \dots P-2$ 之间的数,这个数是只有 E 知道的私密数字
  3. D 生成随机数 $B$  :同样,$B$ 也介于 $1 \dots P-2$, 且这个数只能由 D 知道
  4. E 将 $RA = G^A mod P$ 发送给 D :$RA$ 是可以公开的
  5. D 将 $RB = G^B mod P $发送给 E :同样, $RB$ 可以公开
  6. E 计算共享密钥 :$KA = (G^B \mod P)^A \mod P = G^{B\times A} \mod P$
  7. D 计算共享密钥 :$KB = (G^A \mod P)^B \mod P = G^{A\times B} \mod P$
由此可以得出 $KA = KB$

2 DH交换的安全性

在上述步骤中,窃听者可以得到的信息有4 个: $P, G, G^A\mod P, G^B\mod P$ . 由这 4 个数字计算出 $G^{A\times B} \mod P$ 是非常困难的。要计算  $G^{A\times B} \mod P$  ,则要算出 $A \text{和} B$ 。如果知道 $G^A$ 算出 $A$ 并不难,而根据 $G^A \mod P$ 算出 $A$ 则是不可能的(当 $P$ 足够大时,至少在现在不可能)。 由 $G^A \mod P$ 计算 $A$  的问题称为 **有限域上的离散对数问题**, 其复杂度即是 DH 密钥交换的基础。

生成元

生成元是 数论 中的概念。如果整数 $g,p$ 满足 $\text{gcd}(g,p)=1$ (即 $g,p$ 互质), 那么根据欧拉定理, $g^x \equiv 1 \mod p$ 必然存在正整数解。若 $n$ 为所有解中的最小正整数,那么称 $n$ 是 $g \mod p$ 的阶,记作 $\text{ord}_p g = n$  。 对于整数 $p$, 存在正整数 $g$ 满足 $\text{ord}_p g = \varphi(p)$, 则称 $g$ 是 $p$ 的一个原根 ,也可以称 $g$ 是 $p$ 的一个生成元。
对于 群 $\mathbb(S,\oplus)$ , 存在 $g,a \in \mathbb{S}, 且 g \oplus a 生成集合 \mathbb{T}, \mathbb{S} = \mathbb{T}$ , 那么 $g$,即是 $\mathbb(S,\oplus)$ 的生成元。结合此文,$\mathbb{S}$ 即为与 $P$ 互质的有限域,即 $\{p | 1 \leqslant P \leqslant P-1\}$, $\oplus$ 即为 $\mod P$.

3 实践

  1. E 选择质数 $P =13$, 生成元 $G = 2$ ,并发送给 D
  2. E 生成随机数 A . 假如 A = 9
  3. D 生成随机数 B, 假如 B = 7
  4. E 发送RA 给 D, RA = $2^9 \mod 13 = 5$
  5. D 发送RB 给 E, RB = $2^7 \mod 13 = 11$
  6. E 算出 KA, KA = $RB^{A} \mod P = 11^9 \mod 13 = 8$
  7. D 算出 KB, KB = $RA^{B}\mod P = 5^7 \mod 13 = 8$
通过上述步骤,E 和 D 都生成了共享密钥 8.

4. 椭圆曲线的 DH 密钥交换

关于椭圆曲线的原理可以看这里。椭圆曲线的DH密钥交换在原理上和上面所讲的没有什么不同,只不过生成圆G和质数P是椭圆曲线的参数。加解密双方只需要协商使用同一条曲线即可获得同样的基点G 与常量 P. 在椭圆曲线中,知道 $xG$ 求 $x$ 是一件很困难的事,这就是椭圆曲线 DH 密钥交换的理论基础。